Question

如圖，
（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D₁，∠ABD₁與∠ACD₁的角平分線交于點D₂，依此類推，∠ABD₄與∠ACD₄的角平分線交于點D₅，則∠BD₅C的度數(shù)是

56°

．
（2）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D₁，∠ABD₁與∠ACD₁的角平分線交于點D₂，∠ABD₂與∠ACD₂的角平分線交于點D₃，若∠BD₃C的度數(shù)是n°，則∠A的度數(shù)是

8n-180°

7

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到：∠ABD₁=∠CBD₁=

1

2

∠ABC，∠ACD₁=∠BCD₁=

1

2

∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：∠BD₁C的度數(shù)，再根據(jù)∠ABD₁與∠ACD₁的角平分線交于點D₂，可得∠D₂BC=

3

4

∠ABC，∠D₂CB=

3

4

∠ACB，進而求出∠BD₂C=180°-

3

4

（∠ABC+∠ACB），以此類推可得到：∠BD₅C=180°-

31

32

（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形內(nèi)角和代入∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出答案．
（2）根據(jù)（1）中所求即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，
又∠ABC與∠ACB的角平分線交于D₁，
∴∠ABD₁=∠CBD₁=

1

2

∠ABC，∠ACD₁=∠BCD₁=

1

2

∠ACB，
∴∠CBD₁+∠BCD₁=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×128°=64°，
∴∠BD₁C=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，
同理∠BD₂C=180°-

3

4

（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°，
依此類推，∠BD₅C=180°-

31

32

（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．
故答案為：56°；

（2）由（1）可得：∠BD₃C=180°-

7

8

（∠ABC+∠ACB）=180°-

7

8

（180°-∠A）=n°．
解得：∠A=

8n-180°

7

．
故答案為：

8n-180°

7

．

點評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)求出∠ABC+∠ACB與∠A的關(guān)系，并能找出∠BD_nC與∠A的關(guān)系規(guī)律．