Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將A（1，0）、B（0，2）、C（2，3）、D（3，1）用線段依次連接起來(lái)形成一個(gè)圖案（圖案①）．將圖案①繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖案②；以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2將圖案①在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到圖案③．

（1）在坐標(biāo)系中分別畫出圖案②和圖案③；

（2）若點(diǎn)D在圖案②中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)E，在圖案③中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)F，則S△DEF= ；

（3）若圖案①上任一點(diǎn)P（A、B除外）的坐標(biāo)為（a，b），圖案②中與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)Q，圖案③中與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)R，則S△PQR= ．（用含有a、b的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）作圖參見(jiàn)解析；（2）15；（3）（a2+b2）.

【解析】

試題分析：（1）將圖案①中的各頂點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到知頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到圖案②；以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2將圖案①在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到圖案③；即連接OA，OB，OC，OD，并延長(zhǎng)到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA，OB，OC，OD的2倍，順次連接各點(diǎn)即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格分析S△DEF是由哪幾個(gè)圖形組成，利用面積公式計(jì)算．從圖中可看出三角形是矩形的面積﹣三個(gè)三角形的面積．所以S△DEF=9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）以特殊點(diǎn)點(diǎn)C看作點(diǎn)P,P（a，b），則Q點(diǎn)坐標(biāo)（-b,a）,R點(diǎn)坐標(biāo)為（-2a,-2b）,首先從圖中找出這個(gè)三角形的三點(diǎn)，然后再連線組成三角形，觀察網(wǎng)格得到三角形的面積公式=矩形﹣3個(gè)三角形的面積，列出式子計(jì)算．

試題解析：（1）將圖案①中的各頂點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到各個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到圖案②；以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2將圖案①在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到圖案③；即連接OA，OB，OC，OD，并延長(zhǎng)到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA，OB，OC，OD的2倍，順次連接各點(diǎn)，如圖②和圖③；

（2）從圖中可看出三角形DEF的面積是矩形的面積﹣三個(gè)三角形的面積．所以S△DEF=9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）∵點(diǎn)P（在第一象限內(nèi)）的坐標(biāo)為（a，b），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-b，a），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-2a，-2b），不妨設(shè)a＞b，S△PQR=（2a+a）（a+2b）-(2a-b)(2b+a)-(a+b)(a-b)-(2a+a)(2b+b)=3a2+6ab-(2a2-2b2+3ab+a2-b2+9ab)=3a2+6ab-a2+b2-6ab=（a2+b2）.