Question

如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；
（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=，CQ=時，P、Q兩點間的距離 (用含的代數(shù)式表示)．

Answer 1

（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點，利用SAS，可證得△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得∠BEP=∠EQC，則可證得△BPE∽△CEQ；PQ=a

解析試題分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點，利用SAS，可證得：△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得∠BEP=∠EQC，則可證得：△BPE∽△CEQ；根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得BE的長，即可得BC的長，繼而求得AQ與AP的長，利用勾股定理即可求得P、Q兩點間的距離．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）連接PQ

∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BP=a，CQ=a，BE=CE，
∴，
∴BE=CE=，
∴BC=3，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=，PA=AB-BP=2a，

考點：旋轉(zhuǎn)問題的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．