Question

是否存在一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一內(nèi)角2倍的△ABC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：如圖，當(dāng)∠A=2∠B時(shí)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使AD=AC=b，連接CD，則△ACD為等腰三角形，若∠A=2∠B，得a²=b（b+c），有以下三種情形：
（1）當(dāng)a＞c＞b時(shí)，（2）當(dāng)c＞a＞b時(shí)，（3）當(dāng)a＞b＞c時(shí)分別得出即可．
解答：解：存在滿足條件的三角形
當(dāng)△ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 a=6，b=4，c=5時(shí)，∠A=2∠B
如圖，當(dāng)∠A=2∠B時(shí)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使AD=AC=b，連接CD，則△ACD為等腰三角形
∵∠BAC為△ACD的一個(gè)外角，∴∠BAC=2∠D
由已知∠BAC=2∠B，則∠B=∠D
∴△CBD為等腰三角形
又∠D為△ACD與△CBD 的一個(gè)公共角，∴△ACD∽△CBD
于是=，即=，
∴a²=b（b+c）
∵6²=4（4+5），∴此三角形滿足題設(shè)條件
故存在滿足條件的三角形
說明：滿足條件的三角形不是唯一的，
若∠A=2∠B，得a²=b（b+c），有以下三種情形：
（1）當(dāng)a＞c＞b時(shí)，設(shè)a=n+1，c=n，b=n-1（n為大于1的正整數(shù)）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）（2n-1）
解得n=5
∴a=6，b=4，c=5
（2）當(dāng)c＞a＞b時(shí)，設(shè)c=n+1，a=n，b=n-1（n為大于1的正整數(shù)）
代入a²=b（b+c），得n²=2n（n-1）
解得n=2
∴a=2，b=1，c=3，此時(shí)不能構(gòu)成三角形
（3）當(dāng)a＞b＞c時(shí)，設(shè)a=n+1，b=n，c=n-1（n為大于1的正整數(shù)）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=n（2n-1）
即n²-3n-1=0，此方程無整數(shù)解
所以，三邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的三角形存在，而且只有三邊長(zhǎng)分別為4、5、6構(gòu)成的三角形滿足條件
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓和三角形的面積，難度較大．