Question

如圖，A為x軸正半軸上一點，B為OA的中點，線段OB、AB的垂直平分線分別交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于P、Q兩點．若S_{四邊形OAQP}=4，則k=

2

．

Answer 1

分析：首先設(shè)點B的橫坐標為2a（a＞0），由題意可求得點A，C，D，P，Q的坐標，又由S_{四邊形OAQP}=S_△OPC+S_{四邊形PCDQ}+S_△ADQ，即可得方程

1

2

k+

1

2

（

k

3a

+

k

a

）×2a+

1

2

×

k

3a

×a=4，繼而求得k的值．

解答：解：設(shè)點B的橫坐標為2a（a＞0），
∵B為OA的中點，
∴點A的橫坐標為4a，
∵線段OB、AB的垂直平分線分別交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于P、Q兩點，設(shè)與x軸的交點分別為C，D．
∴點P的橫坐標為a，點Q的橫坐標為3a，
∴點P的坐標為：（a，

k

a

），點Q的坐標為：（3a，

k

3a

），
∵S_{四邊形OAQP}=4，
∴S_{四邊形OAQP}=S_△OPC+S_{四邊形PCDQ}+S_△ADQ=

1

2

k+

1

2

（

k

3a

+

k

a

）×2a+

1

2

×

k

3a

×a=4，
∴2k=4，
解得：k=2．
故答案為：2．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的幾何意義、線段垂直平分線的性質(zhì)以及四邊形的面積問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．