Question

如圖，P為x軸正半軸上一點(diǎn)，半圓P交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，弦AE
分別交OC、CB于D、F．已知

AC

=

CE

，
（1）求證：AD=CD；
（2）若DF=

5

4

，tan∠ECB=

3

4

，求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)M為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，OM=

1

2

AE，是否存在過(guò)點(diǎn)M的直線，使該直線與（2）中所得的拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)到y(tǒng)軸距離相等？若存在，求出這條直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)圓周角定理知∠ACB=90°，已知OC⊥AB，易證得∠ACO=∠OBC，因此只需證得∠DAC=∠ABC；由于C是

AE

的中點(diǎn)，那么∠CAE=∠CBA，由此可得∠ACD=∠CAD，即可得證．
（2）在Rt△ACB和Rt△ACF中，∠DCF和∠DFC是等角的余角，因此兩角相等，由此可得CD=DF=AD，即可得到AD的長(zhǎng)，已知了∠ECO即∠DAO得正切值，可用未知數(shù)表示出OA、OD的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求出OA、OD的長(zhǎng)，也就能求出OC的長(zhǎng)；由相交弦定理得：OC²=OA•OB，即可求出OB的長(zhǎng)，從而得到A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出該拋物線的解析式．
（3）由（2）可求得⊙P的直徑，根據(jù)∠EAB的余弦值即可求出AE的長(zhǎng)，從而求出OM的值，也就得到了M點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)出過(guò)點(diǎn)M的直線解析式，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入其中，即可消去一個(gè)待定系數(shù)，聯(lián)立拋物線的解析式，消去y后可得關(guān)于x的一元二次方程，由于兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，因此它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可確定該直線解析式中的待定系數(shù)，然后再判斷此時(shí)的方程是否有實(shí)數(shù)根即可，若有實(shí)數(shù)根，則存在符合條件的直線，反之則不存在．

解答：（1）證明：連接AC，
∵AB為半圓P的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
又∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠ABC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠ABC=∠CAE，
∴∠ACO=∠CAE，
∴AD=CD．

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CFA=90°，∠ACO+∠BCO=∠90°，
∴∠BCO=∠CFA，
∴CD=DF，
∴AD=CD=DF=

5

4

，
∴OD=

3

4

OA；
由勾股定理得OA²+OD²=AD²
∴OA²+（

3

4

AO）²=（

5

4

）²
∴OA=1，OD=

3

4

，
∴OC=

3

4

+

5

4

=2，
由相交弦定理得OC²=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）解：不存在；
理由，假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)M的直線符合題目的條件，連接EB，
∵AB=1+4=5，又AB為半圓直徑，
∴∠AEB=90°，
∴EB=

3

4

AE，
∴AE=4，
∴OM=

1

2

AE=2，
∵M(jìn)點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）；
設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，則-2k+b=0，
∴b=2k，
∴y=kx+2k，
由題意，方程組

y=kx+2k y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

有兩個(gè)解，消去y，
得

1

2

x2+(k-

3

2

)x+2k-2=0①，
方程①應(yīng)有兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，
∵所求直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)到y(tǒng)軸距離相等，
∴方程①兩根互為相反數(shù)，即兩根之和為0；
∴k=

3

2

，
∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
∴滿足題目條件的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、相交弦定理、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識(shí)，涉及的知識(shí)范圍較廣，綜合性強(qiáng)，難度較大．