Question

【題目】對稱變換和平移變換在平面幾何中有著廣泛的應用，特別是在解決有關最值問題時，更是我們常用的思維方法，請你利用所學知識解決下列問題：

（1）如圖①，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），點B（2，1），點P在x軸上運動，當PA+PB的值最小時，點P的坐標是　　；（請直接寫出答案）

（2）如圖②，AD⊥l于點D，BC⊥l于點C，且AD＝2，AB＝BC＝4，當點P在直線l上運動時，PA+PB的最小值是　　；（請直接寫出答案）

（3）如圖③，直線a∥b，且a與b之間的距離為1，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為2，且AB＝，問：在直線a上是否存在點C，在直線b上是否存在點D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，請求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，請說明理由．

（4）如圖④，在平面直角坐標系中，A（6，0），B（6，4），線段CD在直線y＝x上運動，且CD＝2，則四邊形ABCD周長的最小值是　，此時點D的坐標為　．（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）4；（3）存在，6；（4）6+4，（3，3）

【解析】

（1）如圖1，作點A關于x軸的對稱點，連接 交x軸于點P，則點P為所求點，然后利用待定系數法求出直線的解析式，然后令 即可求出x的值，從而可確定P的坐標；

（2）如圖2，作點A關于直線l的對稱點，連接交直線l于點P，則點P為所求點，利用矩形的性質和勾股定理進而求解即可；

（3）如圖3，將點A向下平移1個單位得到，連接交直線b于點D，過點D作DC⊥a于點C，連接AC，則點C、D為所求點，然后利用勾股定理求出的長度，進而求解；

（4）如圖4，將點A沿y＝x方向向右平移2個單位得到，作點關于直線y＝x的對稱點，連接交直線y＝x于點C，將點C沿直線向下平移2個單位得到點C，則點C、D為所求點，首先利用平行四邊形的性質得出四邊形ABCD周長＝4+2+為最小，然后利用勾股定理即可求出的值，進而可求出周長的最小值，然后利用待定系數法求出直線的解析式，進而可求出C的坐標，從而D的坐標可求 ．

解：（1）如圖1，作點A關于x軸的對稱點，連接交直線l于點P，則點P為所求點，

∵點 、A關于x軸對稱，，

， ，

∴為最小；

設直線的表達式為：y＝kx+b，

將點 代入得

，解得：，

故直線的表達式為：y＝x﹣1，

當y＝0時，x＝1，故點P（1，0）；

故答案為：（1，0）；

（2）如圖2，作點A關于直線l的對稱點，連接交直線l于點P，則點P為所求點，過點作交BC的延長線于點H，

∵點 、A關于x軸對稱，

，

∴為最小；

過點A作AM⊥BC于點M，

，

∴ ，

∴四邊形ADCM是矩形，

∴，

同理， ，

∴BM＝BC﹣CM＝BC﹣AD＝4﹣2＝2．

在Rt△ABM中，AM2＝AB2﹣BM2＝16﹣4＝12＝ ，

BH＝CH+BC＝+BC＝2+4＝6，

在中，

；

即PA+PB的最小值為4，

故答案為：4；

（3）存在，理由：

如圖3，將點A向下平移1個單位得到，連接交直線b于點D，過點D作DC⊥a于點C，連接AC，則點C、D為所求點，

∵，且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴ 為最小．

過點 、A分別作直線a的平行線，分別交過點B與a的垂線于點G、H，則四邊形為矩形，

∵BH＝2+1+2＝5，AB＝，則AH＝＝3，

在中，，BG＝2+1+1＝4，

，

∴，

∴AC+CD+DB最小值為6；

（4）如圖4，將點A沿y＝x方向向右平移2個單位長度得到，作點關于直線y＝x的對稱點，連接交直線y＝x于點C，將點C沿直線向下平移2個單位長度得到點D，則點C、D為所求點．

連接AD、，

設C的坐標為 ，

∵ ，

，

，

∴如果沿著直線向上平移個單位長度，相當于向右平移2個單位，再向上平移2個單位．

∵，

．

∵點和點關于對稱，

．

∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∴．

，

．

，

，

∴四邊形ABCD周長＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+BC+＝4+2+為最�。�

∵=＝4，

故四邊形ABCD周長最小值為：64．

設直線的解析式為，

將代入解析式中得

解得

∴直線解析式為 ．

，解得：，

故點C（5，5），

而CD＝2，

∴點D可以看成點C向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的，

∴點D（3，3），

故答案為：6+4；（3，3）．