Question

【題目】如圖，和是的半徑，，，是上任意一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）

【解析】

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OQB+∠PQR=90°，根據(jù)垂直的定義得到∠BOA=90°，再根據(jù)對(duì)頂角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根據(jù)“等角對(duì)等邊”得證；
(2)根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA為直角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B的度數(shù)，進(jìn)而求出∠QOR的度數(shù)，在直角三角形OQR中，根據(jù)30°的正切函數(shù)定義，可求出QR的值，進(jìn)而得到PQ的長(zhǎng)．

(1)連接，

∵是切線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，且，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

(2)∵，

∴，

又，

∴，

設(shè)，

又，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：

，即，

解得：，即，

∴，

又，

∴為等邊三角形，即，

在直角三角形中，，，

根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得：

．