【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,E為AB的中點(diǎn),且EC、ED分別為∠BCD、∠ADC的角平分線,EF⊥CD交BC的延長線于點(diǎn)G,連接DG.
(1)求證:CE⊥DE;
(2)若AB=6,求CF·DF的值;
(3)當(dāng)△BCE與△DFG相似時(shí),的值是 .
【答案】(1)證明見解析;(2)CF·DF的值為9;(3)的值為或
【解析】
(1)利用平行線及角平分線的性質(zhì)即可證明;
(2)可證△CFE∽△EFD,可得 ,變形得 由角平分線性質(zhì)可得
FF=EA=3,代入即可得結(jié)論
(3)分類討論:若△BCE∽△FDG,可證△BCE≌△FEC、△ADE≌△FED,過G作GH⊥AD于H可證△BCE∽△HDG可得 即可得;當(dāng)△BCD∽△FGD時(shí)可證△CFE≌△CFG可推出∠1=60°,∠4=30°在Rt△BCE中 ,在Rt△ADE中 即可得的值.
(1)證明:
∵BC∥AD
∴∠BCD+∠ADC=180°
∵EC、ED分別平分∠BCD、∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠2+∠3=90° ∴∠CED=90°
∴CE⊥DE
(2)∵CE⊥DE,EF⊥CD
∴∠2+∠5=90°,∠2+∠3=90°
∴∠5=∠3
∴△CFE∽△EFD
∴
∴
∵ED平分∠FDA,∠A=∠EFD=90°
∴FF=EA
∵E為AB中點(diǎn),AB=6
∴FE=AE=BE=3
∴
(3) 若△BCE∽△FDG
∴∠1=∠FDG
∵∠1=∠2
∴∠2=∠FDG
∴EC∥CD
∴
∵∠1=∠2,∠EBC=∠CFE=90°,EC=EC
∴△BCE≌△FCE
∴BC=CF
∵∠3=∠4,∠A=∠EFD=90°,ED=ED
∴△ADE≌△FDE
∴AD=FD
∴
∴
過G作GH⊥AD于H
∴∠DHG=90°
∵∠3=∠4,∠FDG=∠2
又∵∠3+∠4+∠FDG+∠GDH=180°
∠3+∠4+∠1+∠2=180°
∴∠GDH=∠1
又∵∠GFD=∠B=90°
∴△BCE∽△HDG
∴
∵
∴
∴
∴
∴
當(dāng)△BCD∽△FGD
∴∠GDF=∠BEC
∴∠BEC=∠5=∠3=∠4
∵FD=FD,∠3=∠FDG,∠EFD=∠GFD
∴△EDF≌△GFD
∴EF=FG
∵FD⊥EG
∴∠EFC=∠GFC=90°
又∵CF=CF
∴△CFE≌△CFG
∴∠2=∠GCD
∴∠1=∠2=∠GCD
∵∠1+∠2+∠GCD=180°
∴∠1=60°
∴∠4=30°
在Rt△BCE中
在Rt△ADE中
∴
綜上所述的值為或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,反比例函數(shù)()的圖像與矩形兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,且.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)和的值;
(2)求證:;
(3)若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn),是否存在點(diǎn),使?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在AC上,以OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求線段DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn),,且,平分,與交于點(diǎn).
(1)求證:是的切線;
(2)若,求的長;
(3)延長,交于點(diǎn),若,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市某中學(xué)舉行“漢字聽寫”比賽,賽后整理參賽學(xué)生的成績,將學(xué)生的成績分為A,B,C,D四個(gè)等級,并將結(jié)果繪制成圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖和圖2扇形統(tǒng)計(jì)圖,但均不完整.請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)求參加比賽的學(xué)生共有多少名?并補(bǔ)全圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)在圖2扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m的值為_____,表示“D等級”的扇形的圓心角為_____度;
(3)組委會決定從本次比賽獲得A等級的學(xué)生中,選出2名去參加全市中學(xué)生“漢字聽寫”大賽.已知A等級學(xué)生中男生有1名,請用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖①,將的菱形沿對角線剪開,將沿射線方向平移,得到點(diǎn)為邊上一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),與的延長線交于點(diǎn),連接.
①求證:;
②探究的形狀;
如圖②,若菱形變?yōu)檎叫?/span>,將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),原題其他條件不變,中的①和②兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?若成立,請直接寫出結(jié)論;若不成立,請寫出變化后的結(jié)論并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為(,)的拋物線交y軸于點(diǎn)C(0,﹣2),交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).P點(diǎn)是y軸上一動點(diǎn),Q點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)P點(diǎn)運(yùn)動到何位置時(shí),△POA與△ABC相似?并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)以A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,和是的半徑,,,是上任意一點(diǎn),的延長線交于點(diǎn),過點(diǎn)的的切線交的延長線于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°)得到正方形AB′C′D′.
(1)如圖1,B′C′與AC交于點(diǎn)M,C′D′與AD所在直線交于點(diǎn)N,若MN∥B′D′,求α;
(2)如圖2,C′B′與CD交于點(diǎn)Q,延長C′B′與BC交于點(diǎn)P,當(dāng)α=30°時(shí).
①求∠DAQ的度數(shù);
②若AB=6,求PQ的長度.
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