Question

【題目】如圖，扇形OAB的圓心角的度數(shù)為120°，半徑長(zhǎng)為4，P為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N，D是△PMN的外心．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)M、N分別在半徑上作相應(yīng)運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)N離開(kāi)點(diǎn)O時(shí)起，到點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)O時(shí)止，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng) （ ）

A. B. C. 2 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】根據(jù)題意畫(huà)出點(diǎn)N離開(kāi)點(diǎn)O時(shí)，到點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)O時(shí)的圖形，得到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的軌跡是點(diǎn)O為圓心，以2為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，∠P′OA=30°，OD=OP′=2，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，∠P′′OB=30°，OD=OP′′=2，

∴∠P′OA P′′=60°

∵D是△PMN的外心，

∴點(diǎn)D在線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)上，又PM⊥OA，

∴D為OP的中點(diǎn)，即OD=OP=2，

∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，2為半徑，圓心角為60°的弧，

弧長(zhǎng)為： ．

故選：B．

點(diǎn)晴：本題主要考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，要求學(xué)生掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，并能夠在動(dòng)態(tài)的圖形中尋找到圖形的變化規(guī)律，而根據(jù)題意確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．要想理解點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，就要先從P的起始位置和終止位置這兩個(gè)特殊位置進(jìn)行觀(guān)察，從而可得出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，2為半徑，圓心角為60°的弧.