Question

已知：?ABCD中，對(duì)角線AC⊥AB，AB=15，AC=20，點(diǎn)P為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，AP⊥PM（點(diǎn)M與點(diǎn)B分別在直線AP的兩側(cè)），且∠PAM=∠CAD，連結(jié)MD．

（1）當(dāng)點(diǎn)M在?ABCD內(nèi)時(shí)，如圖1，設(shè)BP=x，AP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出符合題意的示意圖，并探究：圖中是否存在與△AMD相似的三角形？若存在，請(qǐng)寫出并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AE⊥BC于E，先在Rt△ABC中運(yùn)用勾股定理求出BC=25，再解Rt△ABE，得到AE=12，BE=9，然后在Rt△AEP中，利用勾股定理得AP²=PE²+AE²，即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明出△APM∽△ACD，則AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可得到△PAC∽△MAD；
（3）先由相似三角形的形狀相同，由（2）得出△APC為等腰三角形，再分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)；②點(diǎn)M在平行四邊形外；又分兩種情況：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延長(zhǎng)線上．
解答：解：（1）如圖1，作AE⊥BC于點(diǎn)E．
∵AC⊥AB，AB=15，AC=20，
∴BC==25，
∴AE=AB•sinB=15×=15×=12，BE=AB•cosB=15×=15×=9，
∴PE=BP-BE=x-9，
∵點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)，
∴垂直時(shí)BP最小等于BE，BP最大接近BC，
在Rt△AEP中，由勾股定理得AP²=PE²+AE²，
∴y=（9≤x＜25）；

（2）存在與△AMD相似的△APC，理由如下：
∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴Rt△APM∽R(shí)t△ACD，
∴AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，
又∠PAC=∠MAD，
∴△PAC∽△MAD；

（3）∵△PAC∽△MAD，
∴當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí)，△APC也為等腰三角形．
①當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)時(shí)，如圖1．點(diǎn)P只能在EC上．
∵∠APC為鈍角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=12.5，
即BP=12.5；
②當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形外時(shí)，
（i）若P在BC上，如圖2．點(diǎn)P只能在BE上．
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=20，則BP=5；
（ii）若P在BC的延長(zhǎng)線上，如圖3．
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=20，則BP=45．
綜上可知，當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)為12.5或5或45．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．