【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A,B,C三點,點B的坐標為(-3,0),且OC=3OA,直線y=x+m經過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;
(3)設點P為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)(-1,2);(3)(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).
【解析】
試題分析:(1)先把點B代入y=x+m,求得m的值,求得C的坐標,然后根據待定系數法即可求得拋物線的解析式;
(2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最。褁=-1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點M坐標;
(3)設P(-1,t),又因為B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值,即可求出點P的坐標.
試題解析:(1)把B(-3,0)代入y=x+m,
得-3+m=0,m=3,
∴直線的解析式為y=x+3;
∴點C的坐標為(0,3),
∵OC=3OA,
∴點A的坐標為(1,0),
∴,解得,
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;
(2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴對稱軸是直線x=-1,
設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.
把x=-1代入直線y=x+3得,y=2,
∴M(-1,2),
即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(-1,2);
(3)設P(-1,t),又∵B(-3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,
①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2
即:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;
②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2
即:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2
即:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=;
綜上所述P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).
科目:初中數學 來源: 題型:
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(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少元;
(2)學校準備購進這兩種型號的節(jié)能燈共50只,并且A型節(jié)能燈的數量不多于B型節(jié)能燈數量的3倍,請設計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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