Question

8．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）若M為EF的中點(diǎn)，OM=5，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)求出DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，求出DG∥EF，DG=EF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出∠BOC=90°，根據(jù)直角三角形的斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)得出EF=2OM，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵邊AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F、G，
∴DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90•，
∴∠BOC=90°，
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴OM=$\frac{1}{2}$EF，
∵OM=5，DG=EF，
∴DG=EF=2OM=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，互余，直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．