Question

2．如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，在保持拋物線的形狀與大小不變的前提下，頂點(diǎn)P在線段CD上移動(dòng)，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（-1，1）和（3，4）．當(dāng)頂點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)B恰好與原點(diǎn)重合．在整個(gè)移動(dòng)過程中，點(diǎn)A移動(dòng)的距離為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通過“當(dāng)頂點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)B恰好與原點(diǎn)重合．”可以算出此時(shí)拋物線的解析式，由此可找出此時(shí)A點(diǎn)所在的位置記為A₁，由于在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中保持拋物線的形狀與大小不變，即保持a不變，算出拋物線頂點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)拋物線的解析式，可以得出此時(shí)A點(diǎn)所在的位置記為A₂，當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A在A₁A₂上運(yùn)動(dòng)，由此可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線頂點(diǎn)在點(diǎn)C（-1，1）時(shí)，故設(shè)此時(shí)的拋物線解析式為y=a（x+1）²+1．
∵此時(shí)原點(diǎn)（0，0）在拋物線上，
∴有0=a（0+1）²+1，即a+1=0，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）²+1．
令y=0，即-（x+1）²+1=0，
解得x₁=-2，x₂=0，
即此時(shí)A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）．
∵保持拋物線的形狀與大小不變，即保持a不變，
∴當(dāng)拋物線頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D（3，4）時(shí)，此時(shí)拋物線解析式為y=-（x-3）²+4．
令y=0，即-（x-3）²+4=0，
解得x₃=1，x₄=5，
即此時(shí)A₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
∵拋物線頂點(diǎn)P在線段CD上移動(dòng)，
∴A點(diǎn)在A₁A₂上運(yùn)動(dòng)，
∴在整個(gè)移動(dòng)過程中，點(diǎn)A移動(dòng)的距離為1-（-2）=3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)“保持拋物線的形狀與大小不變”即保持a不變，由P與C重合時(shí)，B與原點(diǎn)重合，可求出a值．