Question

【題目】如圖1，OA=2，OB=4,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰，在第三象限作等腰Rt△ABC.

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)及△ABC的面積；

(2)如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P為直角頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求證：OP=DE+2．

(3)已知點(diǎn)F坐標(biāo)為（-2，-2），當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3作出等腰Rt△FGH，且始終保持∠GFH=90°，若FG與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0，m），FH與x軸正半軸交于點(diǎn)H（n，0）， 當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①m-n為定值；②m+n為定值,請(qǐng)判斷其中哪些結(jié)論是正確的，并求出其值.

Answer 1

【答案】（1）①C（-6，-2）；②10；（2）證明見(jiàn)解析；（3）②，m+n=-4.

【解析】

（1）如圖1，過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，則可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=1，MA=OB=2，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，-1）；再由勾股定理求出AB、AC的長(zhǎng)即可求出△ABC的面積；

（2）如圖2，過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，則DE=OQ，利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS），進(jìn)一步可得PQ=OA=2，即OP-DE=2，從而得到結(jié)論；

（1）①如圖1，過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，

∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，

則∠MAC=∠OBA，

在△MAC和△OBA中

，

∴△MAC≌△OBA（AAS），

∴CM=OA=2，MA=OB=4，

∴OM=OA+AM=2+4=6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，-2）．

②在Rt△AOB中，AB=AC=，

∴S△ACB=ACAB=10．

（2）證明：如圖2，過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，則DE=OQ

∴OP-DE=OP-OQ=PQ，

∵∠APO+∠QPD=90°，

∠APO+∠OAP=90°，

∴∠QPD=∠OAP，

在△AOP和△PQD中，

，

∴△AOP≌△PQD（AAS）．

∴PQ=OA=2．

即OP = DE+2．

（3）結(jié)論②是正確的，m+n=-4，

如圖3，過(guò)點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，FT⊥y軸于T點(diǎn)，則FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，

在△FSH和△FTG中，

則△FSH≌△FTG（AAS）

則GT=HS，

又∵G（0，m），H（n，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（-2，-2），

∴OT═OS=2，OG=|m|=-m，OH=n，

∴GT=OG-OT=-m-2，HS=OH+OS=n+2，

則-2-m=n+2，

則m+n=-4．