Question

已知：如圖，等邊△ABC中，AB=1．若D、E分別是BC、AC上的點（點D與B、C不重合），且∠ADE=60°．設BD=x，AE=y．
（1）找出與∠BAD相等的角，并給出證明；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值；
（3）△ADE可能為等邊三角形嗎？如若可能，求出此時x值，若不可能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠BAD+∠ADB=120°，而∠ADE=60°，利用平角的定義得到∠ADB+∠CDE=120°，然后根據(jù)等量代換即可得到∠BAD=∠CDE；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=1，則DC=1-x，CE=1-y，易證得△ABD∽△DCE，利用相似比得1：（1-x）=x：（1-y），整理得y=x²-x+1，然后配方，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；
（3）由于∠BAC=60°，點D與B、C不重合，則∠DAE≠60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可判斷△ADE不可能為等邊三角形．

解答：解：（1）與∠BAD相等的角為∠CDE．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
∴∠BAD=∠CDE；
（2）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=1，
設BD=x，AE=y，則DC=1-x，CE=1-y，
∵∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴AB：DC=BD：CE，即1：（1-x）=x：（1-y），
∴y=x²-x+1，
∵y=（x-

1

2

）²+

3

4

，
∴當x=

1

2

時，y有最值為

3

4

；
（3）△ADE不可能為等邊三角形．理由如下：
∵點D與B、C不重合，
而∠BAC=60°，
∴∠DAE≠60°，
∴△ADE不可能為等邊三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了二次函數(shù)的最值問題以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．