Question

如圖，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D是AB上一動點，DE∥BC，交AC于E，將四邊形BDEC沿DE向上翻折，得四邊形B′DEC′，B′C′與AB、AC分別交于點M、N.

(1)證明：△ADE∽△ABC；

(2)設AD為x，梯形MDEN的面積為y，試求y與x的函數(shù)關系式．當x為何值時，y有最大值？

Answer 1

 (1)證明：∵DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴△ADE∽△ABC.

(2)解：∵S_△ABC＝24，△ADE∽△ABC，相似比為，∴＝()²，∴S_△ADE＝x².

∵∠1＝∠2，∠1＝∠B′，∠2＝∠B′MD.

∴∠B′＝∠B′MD.∴B′D＝MD.

又B′D＝BD，∴MD＝BD.

∴AM＝AB－MB＝6－2(6－x)＝2x－6.

同理，△AMN∽△ABC，S_△AMN＝24×()²＝(x－3)².

∴y＝S_△ADE－S_△AMN＝x²－(x－3)²＝－2x²＋16x－24.

整理，得y＝－2(x－4)2＋8

∴當x＝4時，y有最大值．