Question

【題目】在中，，以為斜邊作等腰直角，連接，若，，則的長為______．

Answer 1

【答案】6或2.

【解析】

由于已知沒有圖形，當Rt△ABC固定后，根據(jù)“以BC為斜邊作等腰直角△BCD”可知分兩種情況討論：
①當D點在BC上方時，如圖1，把△ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCE，證明A、C、E三點共線，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD長；
②當D點在BC下方時，如圖2，把△BAD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CED，證明過程類似于①求解．

解：分兩種情況討論：
①當D點在BC上方時，如圖1所示，
把△ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCE，

則∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°

在四邊形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三點共線．
∴AE=AC+CE=4+2=6

在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，

即2AD2=（6）2，解得AD=6

②當D點在BC下方時，如圖2所示，
把△BAD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CED，
則CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，

所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三點共線．
∴AE=AC-CE=4-2=2

在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．

故答案為：6或2.