Question

【題目】
（1）【提出問題】
如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．
（2）【類比探究】
如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
（3）【拓展延伸】
如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN

（2）解：結論∠ABC=∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN

（3）解：∠ABC=∠ACN；

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴ ，

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN

【解析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論；（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到 ，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．