Question

已知線段AB及AB上一點P，當P滿足下列哪一種關系時，P為AB的黃金分割點①AP²=AB•PB；②AP=

5 -1

2

AB；③PB=

3- 5

2

AB；④

AP

PB

=

5 -1

2

；⑤

AB

AP

=

5 -1

2

．其中正確的是

①②③

 （填“序號”）

Answer 1

分析：根據(jù)黃金分割點的定義列出算式，然后求解得到AP與AB關系，再根據(jù)AB、AP、BP三者之間的關系對各小題整理即可判斷正誤．

解答：解：∵P為AB的黃金分割點，
∴

AP

PB

=

AB

AP

，
∴AP²=AB•PB，故①小題正確；
AP²=AB•（AB-AP），
AP²+AB•AP-AB²=0，
解得AP=

5 -1

2

AB，故②小題正確；
（AB-PB）=

5 -1

2

AB，
整理得，PB=

3- 5

2

AB，故③小題正確；
∵AP=

5 -1

2

AB，
∴PB=AB-AP=

3- 5

2

AB，
∴

AP

PB

=

5 -1 2

3- 5 2

=

1+ 5

2

，故④小題錯誤；

AP

AB

=

5 -1

2

，故⑤小題錯誤．
綜上所述，①②③正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了黃金分割，明確黃金分割點的定義列出比例式是求解的關鍵．