Question

已知：如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y拋物線的解析式得到關(guān)于a與c的方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，解方程-

1

2

x2+x+4可求得B（-2，0），則AB=6，BG=m+2，分別由QE∥AC，EG∥OC，根據(jù)三角形相似的判定得到△BEQ∽△BCA，△BEG∽△BCO，利用相似比可表示出EG=

2m+4

3

，而S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ，根據(jù)三角形的面積公式用m表示S_△CQE，配成頂點(diǎn)式為S_△CQE=-

1

3

（m-1）²+3，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題即可得到m=1時(shí)，S_△CQE有最大值3，由此確定Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax²-2ax+c（a≠0）得，
c=4，16a-8a+c=0，
解得a=-

1

2

，c=4，
∴該拋物線的解析式；y=-

1

2

x2+x+4；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖，
解方程-

1

2

x2+x+4=0得x₁=-2，x₂=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴

BE

BC

=

BQ

BA

=

m+2

6

，
又∵EG∥OC，
∴△BEG∽△BCO，
∴

BE

BC

=

EG

OC

=

EG

4

，
∴

EG

4

=

m+2

6

，
∴EG=

2m+4

3

，
∴S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ
=

1

2

BQ•OC-

1

2

BQ•EG
=

1

2

（m+2）•4-

1

2

（m+2）•

2m+4

3

=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CQE有最大值3，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其二次函數(shù)解析式；通過幾何關(guān)系列出二次函數(shù)關(guān)系式，并配成拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）²+k，當(dāng)a＜0，x=h，y有最大值k．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．