Question

【題目】學(xué)完三角形的高后，小明對(duì)三角形與高線做了如下研究：如圖，是中邊上的-點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作、、、，垂足分別為點(diǎn)、、，由與的面積之和等于的面積，有等量關(guān)系式：.像這種利用同一平面圖形的兩種面積計(jì)算途徑可以得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系式，從而用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法稱(chēng)為“等積法”，下面請(qǐng)嘗試用這種方法解決下列問(wèn)題.

圖(1) 圖(2)

(1)如圖(1)， 矩形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、，求的值；

(2)如圖(2)，在中，角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作、，垂足分別為點(diǎn)、，若，，求四邊形的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90°，AO=CO，BO=DO，由“等積法”可求解；

（2）由“等積法”可求OM=ON=1，通過(guò)證明四邊形AMON是正方形，即可求解.

解：（1）如圖，連接，

則由矩形性質(zhì)有：

又

∴

∴

解得：；

（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，

又是的角平分線，、，垂足分別為點(diǎn)、，

，

在中，

設(shè)，則

解得：

四邊形是矩形

又

矩形是正方形

正方形的周長(zhǎng).