Question

18．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，且在函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上．延長(zhǎng)AO，交雙曲線于另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，連接AC、BD．（注：不能用雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)解答下列問(wèn)題）
（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，猜想四邊形ADBC是什么特殊四邊形？并證明；
（3）在（2）的條件下，①四邊形ADBC的面積會(huì)變化嗎？如果不變，求出四邊形ADBC的面積；如果要變，請(qǐng)說(shuō)明理由．②點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AB有最小值？求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直線OA的解析式，構(gòu)建方程組求出交點(diǎn)B的坐標(biāo)即可．
（2）四邊形ACBD是平行四邊形．如圖，設(shè)A（a，$\frac{2}{a}$），可得直線OA的解析式為y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，推出B（-a，-$\frac{2}{a}$），推出A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由此即可解決問(wèn)題．
（3））①結(jié)論：四邊形ADBC的面積不變．根據(jù)S_{平行四邊形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$•AD•CD=2×$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$）•2a=4，可知平行四邊形ACBD的面積是定值．
②由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），可知AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$\sqrt{（2a-\frac{4}{a}）^{2}+16}$，所以當(dāng)2a=$\frac{4}{a}$時(shí)，即a=$\sqrt{2}$時(shí)，線段AB有最小值，最小值為4．

解答 解：（1）∵A（1，2），
∴直線OA的解析式為y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，-2）．

（2）結(jié)論：四邊形ACBD是平行四邊形．
理由：如圖，設(shè)A（a，$\frac{2}{a}$），
∴直線OA的解析式為y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
∴B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴OA=OB，
∵BC⊥x軸，AD⊥x軸，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴四邊形ACBD是平行四邊形．

（3）①結(jié)論：四邊形ADBC的面積不變．
理由：由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∵S_{平行四邊形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$•AD•CD=2×$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$）•2a=4，
∴平行四邊形ACBD的面積是定值．
②由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$\sqrt{（2a-\frac{4}{a}）^{2}+16}$，
∴當(dāng)2a=$\frac{4}{a}$時(shí)，即a=$\sqrt{2}$時(shí)，線段AB有最小值，最小值為4，
此時(shí)A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)，理解方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．