Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)D，連接AD（AD<AB），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接DE，CE，BD.

（1）請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖①；

（2）猜測(cè)BD和CE的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）作射線BD，CE交于點(diǎn)P，把△ADE饒點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°，AB=3，AD=2時(shí)，補(bǔ)全圖形，直接寫出PB的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）BD和CE的數(shù)量是：BD=CE；理由見解析；

（3）圖見解析；PB的長(zhǎng)是或.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可補(bǔ)全圖形；

（2）根據(jù)題意證明△ABD≌△ACE即可解決問題；

（3）①根據(jù)題意證明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠ABD，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得到△BPE∽△BAD,再根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解；②同理△BPE∽△BAD，求出

解：（1）補(bǔ)全圖，如圖；

（2）BD和CE的數(shù)量是：BD=CE；

∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，

∴∠DAB=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE；

（3）結(jié)論：PB的長(zhǎng)是.或

理由：①如圖②

由△ACE≌△ABD，可知：∠ACE=∠ABD，

∵∠AEC=∠BEP，

∴∠BPE=∠EAC=90°，

∵∠PBE=∠ABD，

∴△BPE∽△BAD，

∴,

∵AB=AC=3，AD=AE=2，∴BE=AB-AE=AB-AD=1，

BD=EC==

∴

∴BP=

②如圖③，同理△BPE∽△BAD，

∴,

∵AB=AC=3，AD=AE=2，∴BE=AB+AE=AB+AD=5，

BD=EC==

∴

∴.BP=