Question

如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線(xiàn)FC與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)G．
（1）直線(xiàn)FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（2）若OB=BG=1，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，通過(guò)證明OC∥AF，從而證得OC⊥FG即可判定切線(xiàn)．
（2）可通過(guò)得到CA=CG得到∠COE=∠G=30°，利用解直角三角形的知識(shí)求得CD的長(zhǎng)即可．
解答：解：（1）直線(xiàn)FC與⊙O相切；
證明：連接OC，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∵將△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直線(xiàn)FC與⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，，
∴∠COG=60°．                                        
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=1×=．       
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定、垂徑定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．