Question

【題目】已知點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB所在直線上的一個(gè)不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F，點(diǎn)Q為斜邊AB的中點(diǎn)

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是　 ，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是　 ，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)Q重合時(shí)，判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF， QE＝QF，理由見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，QE＝QF，證明見(jiàn)解析；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論QE＝QF成立，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延長(zhǎng)EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可；延長(zhǎng)EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可．

解：（1）如圖1，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是QE＝QF，

理由是：∵Q為AB的中點(diǎn)，∴AQ＝BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，

∴△AEQ≌△BFQ（AAS），

∴QE＝QF，

故答案為：AE∥BF，QE＝QF；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，QE＝QF，

證明：延長(zhǎng)EQ交BF于D，如圖2，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ＝∠BDQ，又∠AQE＝∠BQD，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ＝DQ，

∵∠BFE＝90°，

∴QE＝QF；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論成立，

證明：延長(zhǎng)EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ＝∠BDQ，

又，∠AQE＝∠BQD，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ＝DQ，

∵∠BFE＝90°，

∴QE＝QF．