Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是（ ）
A.6
B.2 +1
C.9
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1 ， 此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1 ，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2 ，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1= AC=4，
∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1=1，
如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是9．
故選C．

【考點(diǎn)精析】利用切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．