Question

如圖所示，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延長線上一點，BE=．判斷直線DE與半圓O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：直線DE與半圓O相切．連接OD，作OF⊥CD于點F，作DG⊥OE于點G．通過勾股定理求得OF的長，由已知可得到四邊形OFDG是矩形，從而便可求得DG，GE的長，再通過勾股定理判定CD⊥DE，從而證明得到直線DE與半圓O相切．
解答：解：直線DE與半圓O相切．（1分）
證法一：
連接OD，作OF⊥CD于點F．
∵CD=6，
∴DF=CD=3．（2分）
∵OE=OB+BE=5+=．（3分）
∴，
∴．（6分）
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．（7分）
∴△DOF∽△OED，（8分）
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直線DE與半圓O相切．（10分）

證法二：連接OD，作OF⊥CD于點F，作DG⊥OE于點G．
∵CD=6，
∴DF=CD=3．
在Rt△ODF中，OF==4，（3分）
∵CD∥AB，DG⊥AB，OF⊥CD，
∴四邊形OFDG是矩形，
∴DG=OF=4，OG=DF=3．
∵OE=OB+BE=5+，GE=OE-OG=，（5分）
在Rt△DGE中，DE=．
∵，
∴OD²+DE²=OE²，（8分）
∴CD⊥DE．
∴直線DE與半圓O相切．（10分）
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．