Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A，B分別是二次函數(shù)y=2x2的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，A、B的橫坐標(biāo)分別為a，b（a＜0，b＞0），點(diǎn)P（0，t）是拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)．

（1）當(dāng)a+b=0時(shí)，探究是否存在t，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出t、a、b的其中一組值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)a+b≠0時(shí)，探究是否存在t，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出t的取值范圍，并用含t的代數(shù)式表示a2+b2的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2作邊長為4的正方形ACDE（A、C、D、E按逆時(shí)針排列），使得AC∥x軸，若邊CD與二次函數(shù)的圖象總有交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng) a+b=0時(shí)，

∴PA=PB∴只需滿足t≠2a2即可

∴a=﹣1，b=1，t=3

（2）

解：∵A（a，2a2），B（b，2b2），P（0，t）

∵PA=PB，

∴a2+（t﹣2a2）2=b2+（t﹣2b2）2

∴a2﹣b2+（t﹣2a2）2﹣（t﹣2b2）2=0，

（a2﹣b2）[1﹣4（t﹣a2﹣b2）]=0，

∵a2﹣b2≠0

∴1﹣4（t﹣a2﹣b2）=0

∴a2+b2=t﹣ ，

∴t﹣ ＞0，

∴t＞

（3）

解：A（a，2a2），

∴C（a+4，2a2） D（a+4，2a2+4），

設(shè)邊CD與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)為F（a+4，2（a+4）2）

由題意可得：

∴

∴

【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)即可；（2）表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用PA=PB建立方程求解即可；（3）聯(lián)立方程組求解函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．