Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=

8

．
（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，問AP•CQ的值是否改變？說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，設2＜x＜4，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關系式．
（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

分析：（1）由題意易證得：△APD∽△CDQ，然后由相似三角形的性質(zhì)即可求得答案；
（2）不會改變，關鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉而得，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可設旋轉角為α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結論不變；
（3）首先可得當2＜x＜4，即2＜CQ＜4時，0°＜a＜45°，此時兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，又由y=

1

2

AB•BC-

1

2

CQ•DN-

1

2

AP•DG，即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案為：8．

（2）AP•CQ的值不會改變．
理由如下：
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：AD=CD：CQ．
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（

1

2

AC）2=8．

（3）當2＜x＜4，即2＜CQ＜4時，0°＜a＜45°，
此時兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=

8

x

，
則y=

1

2

AB•BC-

1

2

CQ•DN-

1

2

AP•DG
=8-x-

8

x

（2＜x＜4）
∴y與x的函數(shù)關系式為：y=8-x-

8

x

（2＜x＜4）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識的綜合應用．此題難度較大，注意數(shù)形結合思想與函數(shù)思想的應用．