【題目】如圖①②,在平面直角坐標(biāo)系中,一邊長(zhǎng)為2的等邊三角板CDE恰好與坐標(biāo)系中的OAB重合,現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點(diǎn)G(G點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°C′ED的位置.

(1)求C′點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求經(jīng)過O、A、C′三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(3)如圖③G是以AB為直徑的圓,過B點(diǎn)作⊙G的切線與x軸相交于點(diǎn)F,求切線BF的解析式;

(4)在(3)的條件下,拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使得BOFAOM相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1) C′(3,)(2) y=x2x (3) y=x+(4)存在

【解析】分析:1)作CHx,如圖②,利用等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′=OA=2OAB=BAC′=60°,則∠CAH=60°,然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出AH=1,CH=,從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo);

2)設(shè)拋物線解析式為y=axx2),然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可

3)利用切線的性質(zhì)得ABBF,則利用∠FAB=60°得到FA=2AB=4,所以F(﹣20),再判斷四邊形AOBC為菱形,則可寫出B1),然后利用待定系數(shù)法求直線BF的解析式

4)先拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣),再判斷△OBF為頂角為120°的等腰三角形,討論當(dāng)AM=AO=2時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,BOF與△AOM相似易得此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)OM=OA時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱,BOF與△AOM相似,易得此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)MA=MO時(shí),點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),OAM=120°,可判斷△BOF與△AOM相似從而得到此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

詳解:(1)作CHx,如圖②

∵△CDE和△OAB為全等的等邊三角形而三角板CDE繞邊AB的中點(diǎn)GG點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△CED,AC′=OA=2OAB=BAC′=60°,∴∠CAH=60°,AH=AC′=1,CH=AH=,C′(3);

2)設(shè)拋物線解析式為y=axx2),C′(3)代入得a31=,解得a=∴拋物線解析式為y=xx2),y=x2x;

3BF為⊙G的切線ABBF,而∠FAB=60°,FA=2AB=4,F(﹣2,0).

OB=OA=AC′=BC′=2,∴四邊形AOBC為菱形B1),設(shè)直線BF的解析式為y=kx+bF(﹣20),B1,)代入得解得,∴直線BF的解析式為y=x+;

4)存在.

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,當(dāng)x=1時(shí),y=x2x=﹣,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣).

OF=OB=2∴△OBF為頂角為120°的等腰三角形,當(dāng)AM=AO=2時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,BOF與△AOM相似,此時(shí)M3),當(dāng)OM=OA時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱,BOF與△AOM相似,此時(shí)M(﹣1,),當(dāng)MA=MO時(shí),點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),OAM=120°,BOF與△AOM相似,此時(shí)M1,﹣).

綜上所述滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)或(﹣1,)或(1,﹣).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】8分)已知A4m+10)、Bn,4)兩點(diǎn)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△AOB的面積;

3)觀察圖象,直接寫出不等式kx+b0的解集.

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【題目】學(xué)校修建運(yùn)動(dòng)場(chǎng),讓甲工程隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成,讓乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成.

1)如果讓甲、乙工程隊(duì)合做3天后,剩下的工程由乙工程隊(duì)完成,還需要多少天?

2)已知甲隊(duì)每天的費(fèi)用為1000元,乙隊(duì)每天的費(fèi)用為1600 元,從節(jié)約資金的角度,認(rèn)為是甲、乙隊(duì)單獨(dú)做,還是兩隊(duì)合做完成?

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【題目】某工廠現(xiàn)有甲種原料263千克,乙種原料314千克,計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件.生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需要的原料及生產(chǎn)成本如下表所示:

甲種原料(單位:千克)

乙種原料(單位:千克)

生產(chǎn)成本(單位:元)

A產(chǎn)品

3

2

120

B產(chǎn)品

2.5

3.5

200

1)該工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)需要?若能,有幾種生產(chǎn)方案?請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來.

2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總成本為y元,其中生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,試寫出yx之間的函數(shù)關(guān)系,并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中哪種生產(chǎn)方案總成本最低?最低生產(chǎn)總成本是多少?

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【題目】我市某中學(xué)為推進(jìn)書香校園建設(shè),在全校范圍開展圖書漂流活動(dòng),現(xiàn)需要購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種規(guī)格的漂流書屋放置圖書.已知一個(gè)甲種規(guī)格的漂流書屋的價(jià)格比一個(gè)乙種規(guī)格的漂流書屋的價(jià)格高80元;如果購(gòu)買2個(gè)甲種規(guī)格的漂流書屋和3個(gè)乙種規(guī)格的漂流書屋,一共需要花費(fèi)960元.

1)求每個(gè)甲種規(guī)格的漂流書屋和每個(gè)乙種規(guī)格的漂流書屋的價(jià)格分別是多少元?

2)如果學(xué)校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的漂流書屋共15個(gè),并且購(gòu)買這兩種規(guī)格的漂流書屋的總費(fèi)用不超過3040元,那么該學(xué)校至多能購(gòu)買多少個(gè)甲種規(guī)格的漂流書屋?

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(1)當(dāng)x>1時(shí),請(qǐng)分別直接寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)在(1)的條件下,小明選擇哪家快遞公司更省錢?

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【題目】(探究與證明)

在正方形ABCD中,G是射線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合),連BG,作BHBG,且使BHBG,連GH、CH

1)若GAC上(如圖1),則:①圖中與△ABG全等的三角形是   

②線段AG、CGGH之間的數(shù)量關(guān)系是   

2)若GAC的延長(zhǎng)線上(如圖2),那么線段AG、CG、BG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論并給出證明;

(應(yīng)用)(3)如圖3,G在正方形ABCD的對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上,以BG為邊作正方形BGMN,若AG2,AD4,請(qǐng)直接寫出正方形BGMN的面積.

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【題目】下列圖形中,能用,表示同一個(gè)角的是(

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FH=2BH;ACFH;SACF=1;CE=AF;=FGDG,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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