Question

已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-2

3

，0)，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）求一次函數(shù)的解析式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象；
（2）若以原點(diǎn)O為圓心的⊙O與直線AB相切于點(diǎn)C，求⊙O的半徑和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件把點(diǎn)A(-2

3

，0)代入y=kx+2，解出k的值，即可求出解析式．
（2）先過點(diǎn)O作OC⊥AB，得出它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)正切定義，得出∠OAB的度數(shù)，再根據(jù)在直角△CAB中，OC、OA的值，即可求出⊙O的半徑，再過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，得出CD、OD的值，最后得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）本題需先判斷出P的存在，再根據(jù)題意得出AB的值，再以A、B為頂角的頂點(diǎn)和以AB為腰時(shí)，分別求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸相交于A，
∴把點(diǎn)A(-2

3

，0)代入y=kx+2得：
-2

3

k+2=0，
k=

3

3

，
∴一次函數(shù)的解析式：y=

3

3

x+2；

（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，
∵一次函數(shù)的解析式：y=

3

3

x+2，
∴它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，
∴tan∠OAB=

3

3

∴∠OAB=30°
∴在Rt△CAB中，OC=

1

2

OA=

3

，
∴⊙O的半徑為

3

，
過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，
∴CD=

3

2

，OD=

3

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

2

）

（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形，
由題意得，AB=4
當(dāng)以A為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，P（-4-2

3

，0），
當(dāng)以B為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，P（2

3

，0），
當(dāng)以AB為腰時(shí)，P（-

2 3

3

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要注意知識(shí)的綜合應(yīng)用以及各點(diǎn)的求法是本題的關(guān)鍵．