m,n均為正整數(shù),若關于x的方程4x2-2mx+n=0的兩個實數(shù)根都大于1,且小于2,求m,n的值.
分析:首先設f(x)=4x2-2mx+n,由關于x的方程4x2-2mx+n=0有兩個實數(shù)根,可得判別式△>0,又由此二次函數(shù)的開口向上,關于x的方程4x2-2mx+n=0的兩個實數(shù)根都大于1,且小于2,可得f(1)>0,f(2)>0,然后設方程4x2-2mx+n=0兩根為x1,x2,根據(jù)韋達定理,可得x1+x2=
m
2
,x1x2=
n
4
,則可求得4<m<8,4<n<16,由m,n均為正整數(shù),利用分類討論的方法,即可求得m,n的值.
解答:解:設f(x)=4x2-2mx+n,
∵關于x的方程4x2-2mx+n=0有兩個實數(shù)根,
∴△=(2m)2-16n≥0,
∴m2≥4n,
∵此二次函數(shù)的開口向上,關于x的方程4x2-2mx+n=0的兩個實數(shù)根都大于精英家教網(wǎng)1,且小于2(如草圖),
∴f(1)=4-2m+n>0,f(2)=16-4m+n>0,
設方程4x2-2mx+n=0兩根為x1,x2
由韋達定理知:x1+x2=
m
2
,x1x2=
n
4
,
∵x1,x2都大于1,且小于2,
∴2<
m
2
<4,1<
n
4
<4,
∴4<m<8,4<n<16,
∵m,n均為正整數(shù),
∴(1)當m=5,由m2-4n≥0,得n=5或6,但均不滿足4-2m+n>0,
∴m≠5;
(2)當m=6,由m2-4n>0得n=5,6,7,8,9,
∵n,5,6,7,8不滿足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴n=9;
(3)當m=7,由m2-4n≥0得n=5,6,7,8,9,10,11,12.
∵n=5,6,7,8,9,10,11,12不滿足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴此時無解;
∴m=6,n=9.
點評:此題考查了一元二次方根的分布,函數(shù)的性質(zhì)與一元二次不等式的解法.此題難度較大,解題的關鍵是掌握函數(shù)思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用,還要注意二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活應用.
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