Question

如圖，在直角坐標系xOy中，以y軸為對稱軸的拋物線經(jīng)過直線與y軸的交點A和點M（，0）．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）將這條拋物線沿x軸向右平移，使其經(jīng)過坐標原點．
①在題目所給的直角坐標系xOy中，畫出平移后的拋物線的示意圖；
②設(shè)平移后的拋物線的對稱軸與直線AB（B是直線與x軸的交點）相交于C點，判斷以O(shè)為圓心、OC為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）P點是平移后的拋物線的對稱軸上的點，求P點的坐標，使得以O(shè)、A、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A點坐標，進而利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）①將二次函數(shù)拋物線向右平移即可；
②首先求出二次函數(shù)的對稱軸，進而求出對稱軸與直線AB的交點，求出OC的長，進而利用三角形面積得出原點O到直線AB的距離d，即可判斷出以O(shè)為圓心、OC為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得出|P-|=2，即可得出P-2=±2，求出P點坐標即可．
解答：解：（1）設(shè)x=0，則y=2．∴A（0，2）．
設(shè)這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為：y=ax²+2．
∵過點M（-，0），∴有a（-）²+2=0．
解得：a=-．
∴所求的這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為：
y=-x²+2．

（2）①平移后的拋物線如圖所示：
②相切．
理由：由題意和平移性質(zhì)可知，平移后的拋物線的
對稱軸為直線x=．
∵C點是對稱軸與直線AB的相交，
∴易求得點C的坐標為（，）．
由勾股定理，可求得OC=．
設(shè)原點O到直線AB的距離為d，則有 AB•d=AO•BO．
∵點A為（0，2），點B為（2，0），∴AB=4．
4d=2×2．∴d==OC．
這說明，圓心O到直線AB的距離d與⊙O的半徑OC相等．
∴以O(shè)為圓心、OC為半徑的圓與直線AB相切．

（3）設(shè)P點的坐標為（，p）．
∵拋物線的對稱軸與y軸互相平行，即AO∥PC．
∴只需PC=AO=2，即可使以O(shè)，A，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形．
由（2）知，點C的坐標為（，），
∴|P-|=2，∴P-2=±2．
解得 P₁=，P₂=-．
∴P點的坐標為P₁（，）或P₂（，-）．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系和頂點式求二次函數(shù)解析式等知識，正確利用直線與圓的位置關(guān)系判定方法得出是解題關(guān)鍵．