Question

【題目】在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=，AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F，連接EF（如圖）．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖），則PC的長(zhǎng)為 ；

（2）將直角尺從如圖中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止．在這個(gè)過(guò)程中，從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）如圖2，先利用勾股定理計(jì)算出PB=2，再證明△APB∽△DCP，然后利用相似比可計(jì)算出PC；

（2）設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，如圖1，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OP=OB=EF，則利用線段垂直平分線定理的逆定理可得O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上，再確定旋轉(zhuǎn)開始和停止時(shí)EF的中點(diǎn)位置，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)確定線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)．

（1）如圖2，

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∵AP=1，AB=，

∴PB==2，

∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴AP：CD=PB：CP，即1：=2：PC，

∴PC=2，

（2）設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，如圖1，

在Rt△EPF中，OP=EF，

在Rt△EBF中，OB=EF，

∴OP=OB，

∴O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，EF的中點(diǎn)為BC的中點(diǎn)O，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)，A重合時(shí)，EF的中點(diǎn)為PB的中點(diǎn)O，

∴OO′為△PBC的中位線，

∴OO′=PC=，

∴線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為．