【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C.
①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖2,點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),連接BE,將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN(點(diǎn)P、M、N分別和點(diǎn)O、B、E對應(yīng)),并且點(diǎn)M、N都在拋物線上,作MF⊥x軸于點(diǎn)F,若線段MF:BF=1:2,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
③點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上,以Q為圓心的圓過A、B兩點(diǎn),并且和直線CD相切,如圖3,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)(1,﹣4a);(2)①y=﹣x2+2x+3;②M(,)、N(,);③點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).
【解析】
分析: (1)將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)①以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,即點(diǎn)C在以AD為直徑的圓的圓周上,依據(jù)圓周角定理不難得出△ACD是個直角三角形,且∠ACD=90°,A點(diǎn)坐標(biāo)可得,而C、D的坐標(biāo)可由a表達(dá)出來,在得出AC、CD、AD的長度表達(dá)式后,依據(jù)勾股定理列等式即可求出a的值.
②將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN,說明了PM正好和x軸平行,且PM=OB=1,所以求M、N的坐標(biāo)關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo);首先根據(jù)①的函數(shù)解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)題干條件:BF=2MF作為等量關(guān)系進(jìn)行解答即可.
③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G,連接QG,由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出∠CDQ=45°,那么△QGD為等腰直角三角形,即QD =2QG =2QB ,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后用Q點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)出QD、QB的長,根據(jù)上面的等式列方程即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
詳解:
(1)∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
∴D(1,﹣4a).
(2)①∵以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,
∴△ACD為直角三角形,且∠ACD=90°;
由y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣3)(x+1)知,A(3,0)、B(﹣1,0)、C(0,﹣3a),則:
AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4
由勾股定理得:AC2+CD2=AD2,即:9a2+9+a2+1=16a2+4,
化簡,得:a2=1,由a<0,得:a=﹣1,
②∵a=﹣1,
∴拋物線的解析式:y=﹣x2+2x+3,D(1,4).
∵將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN,
∴PM∥x軸,且PM=OB=1;
設(shè)M(x,﹣x2+2x+3),則OF=x,MF=﹣x2+2x+3,BF=OF+OB=x+1;
∵BF=2MF,
∴x+1=2(﹣x2+2x+3),化簡,得:2x2﹣3x﹣5=0
解得:x1=﹣1(舍去)、x2=.
∴M(,)、N(,).
③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G,連接QG,過C作CH⊥QD于H,如下圖:
∵C(0,3)、D(1,4),
∴CH=DH=1,即△CHD是等腰直角三角形,
∴△QGD也是等腰直角三角形,即:QD2=2QG2;
設(shè)Q(1,b),則QD=4﹣b,QG2=QB2=b2+4;
得:(4﹣b)2=2(b2+4),
化簡,得:b2+8b﹣8=0,解得:b=﹣4±2;
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,)或(1,).
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A.①②③④B.①②③C.②④D.①③
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A. B. C. D.
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①若代數(shù)式有意義,則x的取值范圍為x≤1且x≠0.
②我市生態(tài)旅游初步形成規(guī)模,2012年全年生態(tài)旅游收入為302 600 000元,保留三個有效數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為3.03×108元.
③若反比例函數(shù)(m為常數(shù)),當(dāng)x>0時,y隨x增大而增大,則一次函數(shù)y=﹣2x+m的圖象一定不經(jīng)過第一象限.
④若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則函數(shù)稱為偶函數(shù),下列三個函數(shù):y=3,y=2x+1,y=x2中偶函數(shù)的個數(shù)為2個.
A.1 B.2 C.3 D.4
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