Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A的直線l分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C，D．

（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式．

（2）P為x軸上一點(diǎn)，若△PCD為等腰三角形直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）將線段AB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，直接寫出點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）；（3）點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，﹣）或（8，）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線l的函數(shù)表達(dá)式；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出CD的長(zhǎng)，分DC＝DP，CD＝CP，PC＝PD三種情況考慮：①當(dāng)DC＝DP時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出OC＝OP1，進(jìn)而可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo)；②當(dāng)CD＝CP時(shí)，由CP的長(zhǎng)度結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)P2，P3的坐標(biāo)；③當(dāng)PC＝PD時(shí)，設(shè)OP4＝m，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P4的坐標(biāo)．綜上，此問得解；

（3）過點(diǎn)B作直線l的垂線，交y軸于點(diǎn)E，則△DOC∽△DBE，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BE的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（n，n﹣），由A′B＝AB可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，此題得解．

（1）設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），

將A（1，），B（4，）代入y＝kx+b，

得：，解得：，

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+8．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+8＝8，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）；

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+8＝0，

解得：x＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），

∴CD＝10．

分三種情況考慮（如圖1所示）：

①當(dāng)DC＝DP時(shí)，OC＝OP1，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣6，0）；

②當(dāng)CD＝CP時(shí)，CP＝10，

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（16，0）；

③當(dāng)PC＝PD時(shí)，設(shè)OP4＝m，

∴（6+m）2＝82+m2，

解得：m＝，

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（﹣，0）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）．

（3）過點(diǎn)B作直線l的垂線，交y軸于點(diǎn)E，如圖2所示，

∵點(diǎn)B（4，），點(diǎn)D（0，8），

∴BD＝＝，

∵∠CDO＝∠EDB，∠DOC＝∠DBE＝90°，

∴△DOC∽△DBE，

∴，即，

∴DE＝，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣）．

利用待定系數(shù)法可求出直線BE的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣，

設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（n， n﹣），

∵A′B＝AB，

∴（4﹣n）2+[﹣（n﹣）]2＝（4﹣1）2+（﹣）2，

即n2﹣8n＝0，

解得：n1＝0，n2＝8，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，﹣）或（8，）．