Question

已知直線BC：y=-2x-4與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，-1），連接AC、AB
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）如果將△ABC沿著AB旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析：（1）由直線BC：y=-2x-4與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，可求得點(diǎn)B與C的坐標(biāo)，又由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，-1），利用兩點(diǎn)式，即可求得AB，AC，BC的長，然后由勾股定理的逆定理，即可判定△ABC的形狀；
（2）由△ABC沿著AB旋轉(zhuǎn)一周，可得圓錐，且圓錐的底面是以BC為半徑的圓，圓錐的高是AB，然后利用圓錐的體積公式求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線BC：y=-2x-4與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，
∴B（-2，0），C（0，-4），
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，-1），
∴AB²=[-4-（-2）]²+（-1-0）²=5，AC²=（-4-0）²+[（-1-（-4）]²=25，BC²=2²+4²=20，
∴AB=

5

，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°；

（2）∵△ABC沿著AB旋轉(zhuǎn)一周，可得圓錐，且圓錐的底面是以BC為半徑的圓，圓錐的高是AB，
∴所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為：

1

3

×π×BC²×AB=

1

3

×π×20×

5

=

20 5

3

π．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及圓錐的體積公式．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．