【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點D,連接AD、過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)求證:△FDB∽△FAD;
(3)如果⊙O的半徑為5,sin∠ADE=,求BF的長.
【答案】解:(1)證明:如圖,連接OD,
∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°。
∴AD⊥BC。
∵AB=AC,∴AD平分BC,即DB=DC。
∵OA=OB,∴OD為△ABC的中位線。
∴OD∥AC。
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE。
∵OD是⊙O的半徑,∴EF是⊙O的切線。
(2)∵∠DAC=∠DAB,∴∠ADE=∠ABD。
∴在Rt△ADB中, 。
∵AB=10,∴AD=8,
∵在Rt△ADE中, ,∴。
∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA。
∴,即,解得。
【解析】試題分析:(1)連接OD,AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°,由AB=AC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC,即DB=DC,則OD為△ABC的中位線,所以OD∥AC,而DE⊥AC,則OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論;
(2)利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似進行證明即可.
(3)由∠DAC=∠DAB,根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可計算出AD=8,在Rt△ADE中可計算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可計算出BF.
試題解析:(1)證明:連接OD,如圖,
∵AB為⊙0的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,即DB=DC,
∵OA=OB,
∴OD為△ABC的中位線,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切線;
(2)證明:∵EF是⊙O的切線,
∴∠ODB+∠BDF=90°,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠OBD+∠BDF=90°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠OBD=90°,
∴∠DAB=∠BDF,
∵∠BFD=∠DFA,
∴△FDB∽△FAD;
(3)∵∠DAC=∠DAB,
∴∠ADE=∠ABD,
在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,sin∠ADE=,
∴AE=,
∵OD∥AE,
∴△FDO∽△FEA,
∴,
即,
∴BF=.
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【題目】如圖,點D,E分別在線段AB,AC上,CD與BE相交于O點,已知AB=AC,現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C
B.BE=CD
C.BD=CE
D.AD=AE
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【題目】要了解全部九年級學生的身高在某一范圍內(nèi)的學生所占的比例,需知道相應(yīng)樣本的( )
A. 平均數(shù)B. 頻數(shù)分布
C. 眾數(shù)D. 方差
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【題目】在2019年廣東省政府工作報告中指出:我省大力實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,加快解決農(nóng)業(yè)農(nóng)村突出問題,“三農(nóng)”工作取得新成效,省財政自2018年起三年投入75億元支持粵東粵西粵北省級現(xiàn)代農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園建設(shè).用科學記數(shù)法表示75億為( 。
A. 7.5×108B. 0.75×1010C. 75×108D. 7.5×109
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【題目】如圖,△ABC在直角坐標系中,
(1)請寫出△ABC各點的坐標.
(2)若把△ABC向上平移2個單位,再向左平移1個單位得到△A′B′C′,寫出 A′、B′、C′的坐標,并在圖中畫出平移后圖形.
(3)求出三角形ABC的面積.
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【題目】國家游泳中心﹣﹣“水立方”是北京2008年奧運會場館之一,它的外層膜的展開面積約為260 000平方米,將260 000用科學記數(shù)法表示應(yīng)為( )
A.0.26×106
B.26×104
C.2.6×106
D.2.6×105
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【題目】下列計算錯誤的是( )
A.(﹣2x)3=﹣2x3
B.﹣a2a=﹣a3
C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9
D.(﹣2a3)2=4a6
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