【題目】如圖,在ABC中,ABC=ACB,以AC為直徑的O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長線上,且CAB=2BCP.

(1)求證:直線CP是O的切線.

(2)若BC=2,sinBCP=,求點(diǎn)B到AC的距離.

(3)在第(2)的條件下,求ACP的周長.

【答案】(1)證明見解析(2)4(3)20

【解析】解:(1)∵∠ABC=ACB且CAB=2BCP,在ABC中,ABC+BAC+BCA=180°,

2BCP+2BCA=180°。

∴∠BCP+BCA=90°,即PCA=90°。

AC是O的直徑,直線CP是O的切線。

(2)如圖,作BDAC于點(diǎn)D,

PCAC,BDPC。∴∠PCB=DBC。

C=2,sinBCP=

,解得:DC=2。

由勾股定理得:BD=4。點(diǎn)B到AC的距離為4。

(3)如圖,連接AN,

在RtACN中,,

又CD=2,AD=AC﹣CD=5﹣2=3。

BDCP,ABD∽△ACP。

,即。

在RtACP中,。

∴△ACP的周長為。

(1))根據(jù)ABC=AC且CAB=2BCP,在ABC中ABC+BAC+BCA=180°,得到2BCP+2BCA=180°,從而得到BCP+BCA=90°,證得直線CP是O的切線。

(2)作BDAC于點(diǎn)D,得到BDPC,從而利用求得DC=2,再根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)B到AC的距離為4。

(3)先求出AC的長度,然后由BDPC求得ABD∽△ACP,利用比例線段關(guān)系求得CP的長度,再由勾股定理求出AP的長度,從而求得ACP的周長

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