Question

觀察下列等式：
1×2×3×4+1=25=5²；
2×3×4×5+1=121=11²；
3×4×5×6+1=361=19²；
4×5×6×7+1=841=29²；
（1）找出上面四個(gè)算式的規(guī)律，并用文字語(yǔ)言表述出來(lái)；
（2）你能猜想出怎樣一個(gè)普遍性的結(jié)論？
（3）試證明你的猜想的正確性．

Answer 1

分析：（1）等式的左邊是連續(xù)四個(gè)正整數(shù)的乘積，再加上1，得數(shù)是這四個(gè)自然數(shù)兩端數(shù)的乘積加1的平方；
（2）利用前面的算式的規(guī)律，用自然數(shù)n表示出來(lái)即可；
（3）利用整式的乘法展開即可．

解答：解：（1）四個(gè)正整數(shù)的乘積與1的和是一個(gè)完全平方數(shù)（四個(gè)自然數(shù)兩端數(shù)的乘積加1的平方）；
（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²；
（3）左面=n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n+1）（n+2）n（n+3）+1
=（n²+3n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²=右邊．

點(diǎn)評(píng)：此題考查算式的規(guī)律，注意算式之間的聯(lián)系，利用特殊推出一般性的結(jié)論，再加以證明結(jié)論的成立，是數(shù)學(xué)中常用的方法．