Question

已知x、y、z是三個(gè)非負(fù)整數(shù)，滿足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若s=2x+y-z，則s的最大值與最小值的和為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，先推斷出S取最大值與最小值時(shí)的x、y、z的值，再求S的最大值與最小值的和．
解答：解：法1：要使S取最大值，2x+y最大，z最小，
∵x、y、z是三個(gè)非負(fù)整數(shù)，
∴z=0，解方程組 ，解得：，
∴S的最大值=2×1+1-0=3；
要使S取最小值，
聯(lián)立得方程組 ，
（1）+（2）得4x+3y=7，y=，
（1）-（2）×2得，x+3z=1，z=，
把y=，z=代入S=2x+y-z，整理得，S=x+2，當(dāng)x取最小值時(shí)，S有最小值，
∵x、y、z是三個(gè)非負(fù)整數(shù)，
∴x的最小值是0，
∴S_最小=2，
∴S的最大值與最小值的和：3+2=5；
法2：∵x+y-z=2，S=2x+y-z，
∴S=x+2，
∵3x+2y+z=5，x+y-z=2，
∴y=或z=，
∵x，y，z為三個(gè)非負(fù)有理數(shù)，
∴≥0①，≥0②，
解不等式①得，x≤，
解不等式②得，x≤1，
∴x≤1，
又x，y，z為三個(gè)非負(fù)有理數(shù)，
∴0≤x≤1，
∴S的最大值3，最小值2，
則S的最大值與最小值的和：3+2=5．
故答案為：5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值問(wèn)題．解答時(shí)，在給定的范圍內(nèi)（x、y、z是三個(gè)非負(fù)整數(shù)），求一個(gè)代數(shù)式s=2x+y-z的最值問(wèn)題，難度較大．所以采取了化歸思想，例如，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“要使S取最大值，2x+y最大，z最小”．