Question

已知關于x的方程 

（1）求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；（4分）

（2）若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊的長b，c恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周長。（8分）

 

Answer 1

【答案】

（1）⊿=·····2分

∵論k取什么實數(shù)值，≥0，·∴原方程總有實數(shù)根.

（2）∵三角形ABC是等腰三角形ABC，

∴有兩條邊相等。

若b=c,

∵b、c都是方程的根，

∴⊿==0，。

∴b+c=2k+1=3+1=4.

∵a=4,這時b+c=a,不合題意；

∴不存在這種情況。·若b、c中有一條與a相等，不妨設b=a=4.

∵b是所給的方程的根，

∴，∴ ， b+c=2k+1=6，c=2.

∵a+b=8＞c,

∴三角形ABC的周長為a+b+c=8+2=10.

【解析】（1）先把方程化為一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要證明無論k取任何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根，即要證明△≥0；

（2）先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k-1．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長．