Question

（2003•泰安）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，DB分別交AN、CM于點(diǎn)P、Q．下列結(jié)論：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ；（4）S_△ADP=S_{平行四邊形ABCD}．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，易證△ADN≌△CBM，AN∥CM，根據(jù)M是AB的中點(diǎn)，因而BQ=PQ，同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB；同理易證△APD≌△CBQ，則AP=CQ；根據(jù)AB∥CD，△BMQ∽△DCQ，==2，CQ=2MQ；根據(jù)DP=PQ=QB，AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3，因而S_△ADP=S_{平行四邊形ABCD}．
解答：解：平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴DN=MB，∠MBC=∠NDA，AD=BC，
∴△ADN≌△CBM，
∴∠DNA=CMB，
∵AB∥CD，
∴∠DNA=∠NAM，
∴∠NAM=∠CMB，
∴AN∥CM，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴BQ=PQ，
同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB，
同理易證△APD≌△CBQ，則AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴△BMQ∽△DCQ，
∴==2，
∴CQ=2MQ，
∵DP=PQ=QB，
∴AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3，
∴S_△ADP=S_{平行四邊形ABCD}，
∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查的是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)線段相等的證明．