Question

如圖(1)，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為軸、 軸建立平面直角坐標(biāo)系(O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上).若⊙P過A、B、E三點(diǎn)(圓心在軸上)交y軸于另一點(diǎn)Q，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2).

1.求拋物線的函數(shù)解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

2.求證：ME是⊙P的切線；

 

Answer 1

 

1.解：如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，

∵正方形CDEF的面積為1，

∴CD=CF=1，

根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知：OP=PC=n，

∴BC=2PC=2n，

∵而PB=PE，

∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，

∴5n²=（n+1）²+1，

解得：n=1或n=-（舍去），

∴BC=OC=2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；(6分)

2.證明：如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），

∵A，C在拋物線上，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x²-x+2=（x-3）²-，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=3，即EF所在直線，

∵C與G關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

∴CF=FG=1，

∴MF=FG=，

在Rt△PEF與Rt△EMF中，

∠EFM=∠EFP，

∵，，

∴，

∴△PEF∽△EMF，

∴∠EPF=∠FEM，

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，

∴ME是⊙P的切線；（12分）

解析:（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，由正方形CDEF的面積為1，可得CD=CF=1，根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據(jù)勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標(biāo)；

（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得拋物線的解析式，然后求得FM的長(zhǎng)，則可得△PEF∽△EMF，則可證得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切線；