Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，求四邊形AOCP面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）P（2，6），16；（3）存在，Q的坐標(biāo)為（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）

【解析】試題分析：(1)、將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式，從而求出b和c的值，然后得出函數(shù)解析式；(2)、根據(jù)二次函數(shù)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)題意可得要使△ACP的面積達(dá)到最大時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與AC的平行直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，從而得出答案；(3)、分兩種情況來(lái)進(jìn)行討論：①以AB為邊時(shí)，CQ∥AB，CQ=AB 過(guò)點(diǎn)C作平行于AB的直線l，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（d，4），則CQ=|d|，根據(jù)題意得出AB=5，從而得出d的值，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②、以AB為對(duì)角線時(shí)，CQ必過(guò)線段AB中點(diǎn)，且被AB平分，即：AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn)，根據(jù)題意得出中點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線CQ的解析式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)得出答案.

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．

∴，∴， ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+3x+4，

（2）如圖，

由（1）有，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+3x+4， 令y=0，得x=4，或x=-1，∴B（-1，0）

連接AC，PA，PC，要使四邊形的面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)的面積最大時(shí)，

∴點(diǎn)P在平行于直線AC，且該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，S△PAC最大，

即：S四邊形AOCP最大；

∵A（4，0），C（0，4）， ∴直線AC解析式為，

設(shè)與直線AC平行的直線解析式為，則

，∴

∴，∴，∴點(diǎn)P（2，6），

連接PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，PG⊥x軸，則PD=2，PG=6，

∴．

（3）存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，

p>理由：①以AB為邊時(shí)，CQ∥AB，CQ=AB 過(guò)點(diǎn)C作平行于AB的直線l，

∵C（0，4），∴直線l解析式為y=4，∴點(diǎn)Q在直線l上， 設(shè)Q（d，4），∴CQ=|d|，

∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5， ∴Q（﹣5，4）或（5，4），

②以AB為對(duì)角線時(shí)，CQ必過(guò)線段AB中點(diǎn)，且被AB平分，即：AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn)，

∵A（4，0），B（-1，0），∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

∵C（0，4），∴直線CQ解析式為y=-x+4，設(shè)點(diǎn)Q（m，-m+4），

∴，∴m=0（舍）或m=3，∴Q（3，﹣4），

即：滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）．