Question

如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦，過點C作CD⊥AB于點D，將△ACD沿AC翻折，點D落在點E處，AE交⊙O于點F，連接OC、FC．
（1）求證：CE是⊙O的切線．
（2）若FC∥AB，求證：四邊形AOCF是菱形．

Answer 1

（1）證明：由翻折可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AE
∴∠OCE=90°，
即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半徑
∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：∵FC∥AB，OC∥AF，
∴四邊形AOCF是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴平行四邊形AOCF是菱形．
分析：（1）由翻折的性質可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，然后根據OA=OC得到∠OAC=∠OCA，從而得到OC∥AE，得到∠OCE=90°，從而判定切線．
（2）利用FC∥AB，OC∥AF判定四邊形AOCF是平行四邊形，根據OA=OC，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定□AOCF是菱形．
點評：本題考查了切線的判定、菱形的判定及翻折變換的性質，利用翻折變換的性質得到∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°是解決此類問題的關鍵．