Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AC交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF＝，連接AO、CO．CO與AB相交于點(diǎn)G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，將圓心O繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)O′，若點(diǎn)O′恰好落△ADF某一邊上時(shí)，則OO′的長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長(zhǎng)AO交BD于H，連接OB，OD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AD，推出AH垂直平分BD，根據(jù)平行線分線段成比例得到 ，根據(jù)勾股定理得到OO′= =4 ，過(guò)O作OO′⊥AB于K交AF于O′，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到O′B=OB=5，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：延長(zhǎng)AO交BD于H，連接OB，OD，

∵∠ADC＝∠AOC＝（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）＝（180°﹣4∠CAB）＝90°﹣2∠CAB，

∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，

∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，

∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，

∴∠AOB＝∠AOD，

在△OAB與△OAD中 ，

∴△OAB≌△OAD，

∴AB＝AD，

∵∠OAB＝∠OAD，

∴AH垂直平分BD，

∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，

∴OB∥AF，

∴，

令OH＝4a，則BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，

∴BD＝2BH＝12，

當(dāng)O′在BD上時(shí)，O′H＝O′B﹣BH＝4，

∴OO′＝＝4，

過(guò)O作OO′⊥AB于K交AF于O′，

則四邊形OAO′B是菱形，

∴O′B＝OB＝5，BK＝AB＝3 ，

∴OK＝ ＝ ，

∴OO′＝2OK＝2．

故答案為：4或2．