【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn)(不與A、B重合),D為的中點(diǎn),過點(diǎn)D作弦DEABF,PBA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠PEA=∠B

1)求證:PE是⊙O的切線;

2)連接CADE相交于點(diǎn)G,CA的延長(zhǎng)線交PEH,求證:HEHG

3)若tanP,試求的值.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)連接OE,由圓周角定理證得∠EAB+B90°,可得出∠OAE=∠AEO,則∠PEA+AEO90°,即∠PEO90°,則結(jié)論得證;

2)連接OD,證得∠AOD=∠AGF,∠B=∠AEF,可得出∠PEF2B,∠AOD2B,可證得∠PEF=∠AOD=∠AGF,則結(jié)論得證;

3)可得出tanPtanODF,設(shè)OF5x,則DF12x,求出AE,BE,得出,證明PEA∽△PBE,得出,過點(diǎn)HHKPA于點(diǎn)K,證明∠P=∠PAH,得出PHAH,設(shè)HK5aPK12a,得出PH13a,可得出AH13aAG10a,則可得出答案.

解:(1)證明:如圖1,連接OE,

AB是⊙O的直徑,

∴∠AEB90°,

∴∠EAB+B90°

OAOE,

∴∠OAE=∠AEO,

∴∠B+AEO90°

∵∠PEA=∠B,

∴∠PEA+AEO90°,

∴∠PEO90°

又∵OE為半徑,

PE是⊙O的切線;

2)如圖2,連接OD

D的中點(diǎn),

ODAC,設(shè)垂足為M

∴∠AMO90°,

DEAB,

∴∠AFD90°

∴∠AOD+OAM=∠OAM+AGF90°,

∴∠AOD=∠AGF,

∵∠AEB=∠EFB90°

∴∠B=∠AEF,

∵∠PEA=∠B,

∴∠PEF2B,

DEAB

,

∴∠AOD2B

∴∠PEF=∠AOD=∠AGF,

HEHG;

3)解:如圖3

∵∠PEF=∠AOD,∠PFE=∠DFO,

∴∠P=∠ODF

tanPtanODF,

設(shè)OF5x,則DF12x,

OD13x

BFOF+OB5x+13x18x,AFOAOF13x5x8x,

DEOA

EFDF12x,

AE4x,BE6x

∵∠PEA=∠B,∠EPA=∠BPE,

∴△PEA∽△PBE

,

∵∠P+PEF=∠FAG+AGF90°,

∴∠HEG=∠HGE,

∴∠P=∠FAG

又∵∠FAG=∠PAH,

∴∠P=∠PAH,

PHAH

過點(diǎn)HHKPA于點(diǎn)K,

PKAK,

,

tanP,

設(shè)HK5aPK12a,

PH13a,

AH13a,PE36a

HEHG36a13a23a,

AGGHAH23a13a10a,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)在旋轉(zhuǎn)過程中:

①當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí),求的長(zhǎng);

②當(dāng)三點(diǎn)在同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí),求的長(zhǎng).

2)若擺動(dòng)臂順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的位置由外的點(diǎn)轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)處,連結(jié),如圖2,此時(shí),,求的長(zhǎng).

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1)求證:AF是⊙O的切線;

2)若BC6CD3,則DE的長(zhǎng)為   ;

3)當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),的值是否發(fā)生變化?如果變化,請(qǐng)寫出其變化范圍;如果不變,請(qǐng)求出其值.

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