Question

如圖，正方形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)O．
（1）若H為OC上一點(diǎn)，過A作BH的垂線，垂足為E，AE與BO相交于點(diǎn)G．試探索OH與OG的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若點(diǎn)H在OC的延長線上，過A作BH的垂線，交HB的延長線于點(diǎn)E，直線AE與OB相交于點(diǎn)G．（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）OH=OG．
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AO=B0，B0⊥AC（正方形兩條對角線相等，互相垂直平分），
∴∠AOG=∠BOH=90°，（2分）
則∠OAG+∠OGA=90°，又AE⊥BH，
∴∠AEB=90°，則∠OBH+∠BGE=90°，
而∠OGA=∠BGE，
∴∠OAG=∠OBH，（4分）
∴△OAG≌△OBH（ASA），
則OH=OG；（6分）



（2）OH=OG成立．（無此步不扣分）（7分）
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AO=BO，BO⊥AC，
∴∠AOG=∠BOH=90°（8分）
則∠H+∠HBO=90°，又AE⊥BH，
∴∠GEB=90°，則∠G+∠GBE=90°，
又∠HBO=∠GBE，
∴∠H=∠G（9分）
∴△AOG≌△BOH．（AAS）
則OG=OH．（11分）